Teoría de conjuntos

Recomendaciones para la solución de problemas con aplicación en teoría de conjuntos.

1. Leer el enunciado tantas veces se considere hasta que el problema sea claro.

2. Identificar el tipo de diagrama de ven que mejor se adapte a los datos del problema, teniendo en cuenta que no necesariamente los diagramas deben de ser circulares y algunos son disjuntos.

3. Identificar el tipo de relación que tienen los datos para determinar la operación que se efectuara.

4. Nombrar cada región según la información del problema.

5. Ubicar los datos del problema en cada uno de los espacios que hemos designado, teniendo en cuenta que se debe dar prioridad a la intersección.

6. Verificar que la información satisfaga el enunciado, teniendo en cuenta que el cardinal sea igual al universal.

7. Deducir las conclusiones que solicita el enunciado según el diagrama.

Ejemplo:
En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 estudiantes, se hallaron los siguientes datos: 54 estudian algebra, 89 estudian inglés, 80 estudian ciencias naturales, 60 estudian ciencias naturales e inglés, 10 estudian algebra solamente, 20 estudian algebra y ciencias, 15 estudian las tres materias simultáneamente. Calcular:

a. ¿Cuantos estudian algebra e inglés, pero no ciencias?

b. ¿Cuantos estudian solo una materia?

c. ¿Cuánto a lo sumo 2 materias?

Solución

Después de haber leído el enunciado se puede evidenciar, que para problema sirve un diagrama de venn circular y que no hay conjuntos disjuntos.

Según los datos del problema nombraremos el ovalo negro: ingles, el ovalo verde: ciencias naturales y el ovalo amarillo: Algebra.

Dándole prioridad a las intersecciones procedemos a ubicar los datos

Se hubican los 10 que solo estudian algebra, y se procede a completar los 54 que estudia algebra.

De igual manera se completan los espacios faltantes.

El card(conjuntos)= 119 U=150

Como se tiene que en total fueron encuestados 150 estudiantes y solo tenemos 119, esto quiere decir que hay 150-119= 31 estudiantes que no estudian ninguna de las tres materias pero que hacen parte del universal (U) por que fueron encuestados.

Según el grafico podemos concluir:
a. 24 estudian algebra e inglés pero no ciencias.
b. 30 estudian solo 1 materia.
c. a lo sumo 104 estudian dos materias.

Cardinalidad y propiedades

El cardinal de un conjunto es el numero de elementos que pertenecen a dicho conjunto, se denotan card(A), por tanto Card(a)=26 donde A consta de las letrs del alfabeto y Card(D)=7 donde d comprende los dias de la semana.

1. A=B ↔ Card(A)=Card(B)	2. Card(AUB) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B)
3. Card(Φ) =0	4. Card(A’) = Card(U) - Card(A)
5. Card(A-B) = Card(A) - Card(B)	6. Card(AΔB) = Card(A) + Card(B) - 2 Card(A∩B)
7. Card(A’ UB’)= Card(U)- Card(A∩B)	8. Card(AUB’) = Card(U)+ Card(A∩B)- Card(B’)
9. Card(AUBUC) = Card(A) + Card(B) + Card(C) - Card(A∩B) - Card(A∩C) - Card(B∩C) + Card(A∩B∩C)

Conjuntos finitos y contables

los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. un conjunto S es finito si S es vacío o si S consiste de M elementos exactamente donde M es un entero positivo de ora forma es infinito.

Ejemplo: sea A el conjunto de las letras del alfabeto y sea D los días de la semana.
A= (a,b,c,d,e,f,...,z) D=(Lunes, Martes, Mie,...,Domingo)
entonces A y D son conjuntos finitos, específicamente a tiene 26 elementos y D tiene 7 elementos.

un conjunto S es contable si S es finito o si los elementos de S pueden ser ordenados en forma de sucesión, en cuyo caso de dice que S es contablemente infinito. un conjunto es incontable si este no es contables.

Ejemplo: sea E el conjunto de los enteros positivos pares y sea I el intervalo unidad.
E=(2,4,6,8,...) I=(0,1)=(x: 0 < x < 1)
entonces el conjunto E es contablemente infinito, mientras que puede probarse que el intervalo unitario es incontable

leyes del álgebra de conjuntos

Leyes de impotencia:

1a. AUA=A 1b. A∩A=A

Leyes asociativas:

2a. (AUB)UC= AU(BUC) 2b. (A∩B)∩C= A∩(B∩C)

Leyes conmutativas:

3a. AUB=BUA 3b. A∩B=B∩A
3c. AΔB=BΔA

Leyes distributivas

4a. AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) 4b. A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

Leyes de identidad

5a. AUΦ=A 5b. A∩U=A
5c. AUU=U 5d. A∩Φ=Φ

Leyes de complemento:

6a. (A’)’=A 6b. AUA’=U
6c. A∩A’=Φ 6d. U’=Φ

Leyes de D’ Morgan

7a. (AUB)’=A’∩ B’ 8b. (A∩B)’=A’UB’

Definición de:

Unión: La unión de dos conjuntos A y B representados por AUB, es el conjunto de los todos los elementos que pertenecen a A o a B.
AUB= {x: XϵA o XϵB}

Intersección: la intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A∩B,, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos A y B.

A∩B= {X: XϵA y XϵB}

Diferencia: la diferencia, representada por A-B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B.

A-B= {X: XϵA y X-ϵB}

Complemento: El complemento, representado por A’ es el conjunto de elementos que pertenecen al universal U peor no pertenecen a A.

A’={X: XϵU y X-ϵA}

Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica, representada por AΔB es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B pero no a los dos.

AΔB= (AUB)-(A∩B) o AΔB= (A-B)U(B-A)

Ideas preliminares

Noción de Conjunto: Es una colección de objetos (personas, animales, cosas) Se denotan con letras mayúsculas latinas A, B... o por medio de subindices.
Los conjuntos pueden escribirse de dos formas
1. Extensión: se listan todos o algunos elementos del conjunto.
2. Comprensión: se enuncia una regla de formación que describa todos los elementos de dicho conjunto.

Noción de elementos: Son los objetos que conforman el conjunto. se denotan con letras minúsculas x, y, z.

conjunto universal y conjunto vació: se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquier aplicación de una teoría de conjuntos, están contenidos en algún conjunto grande fijo denominado el conjunto universal. Conjunto vació se denomina al conjunto que no posee ninguno elemento.

conjuntos disjuntos: se dice que los conjuntos A. y B. son disjuntos si estos no tienen elementos en común.

Diagramas de Venn: Un diagrama de Venn es una representación en dibujo de conjuntos, donde estos están representados por áreas encerradas en el plano